Перейти на главную страницу
Поиск по сайту

Основные свойства скалярного произведения векторов

Высшая математика — просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: Наш форум и библиотека: Не нашлось нужной задачи?

Задайте вопрос на форуме! Высшая математика для чайников, или с чего начать? Векторы для чайников Скалярное произведение векторов Линейная не зависимость векторов. Базис векторов Переход к новому базису Векторное и смешанное произведение векторов Формулы деления отрезка в данном отношении Прямая на плоскости Простейшие задачи с прямой на плоскости Линейные неравенства Как научиться решать задачи по аналитической геометрии? Эллипс Гипербола и парабола Задачи с линиями 2-го порядка Как привести уравнение л.

Полярные координаты Как построить линию в полярной системе координат? Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида. Множества и действия над ними Основы математической логики Формулы и законы логики Уравнения высшей математики Комплексные числа Выражения, уравнения и с-мы с комплексными числами Действия с матрицами Как вычислить определитель?

Свойства определителя и понижение его порядка Как найти обратную матрицу? Матричные выражения Матричные уравнения Как решить систему линейных уравнений? Матричный метод решения системы Метод Гаусса для чайников Несовместные системы и системы с общим решением Как найти ранг матрицы?

Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы.

Примеры решений Замечательные пределы Методы решения пределов Бесконечно малые функции. Эквивалентности Правила Лопиталя Сложные пределы Пределы последовательностей Пределы по Коши. Примеры решений Логарифмическая производная Производные неявной, параметрической функций Простейшие задачи с производной Производные высших порядков Что такое производная?

Производная по определению Как найти уравнение нормали? Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных. Графики и свойства элементарных функций Как построить график функции с помощью преобразований? Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи.

Область определения функции двух переменных. Линии уровня Основные поверхности Предел функции 2 переменных Повторные пределы Непрерывность функции 2п Частные производные Частные производные функции трёх переменных Производные сложных функций нескольких переменных Как проверить, удовлетворяет ли функция уравнению?

Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов.

Примеры решений Метод замены переменной в неопределенном интеграле Интегрирование по частям Интегралы от тригонометрических функций Интегрирование дробей Интегралы от дробно-рациональных функций Интегрирование иррациональных функций Сложные интегралы Определенный интеграл Как вычислить площадь с помощью определенного интеграла? Теория для чайников Объем тела вращения Несобственные интегралы Эффективные методы решения определенных и несобственных интегралов S в полярных координатах S и V, если линия задана в параметрическом виде Длина дуги кривой S поверхности вращения Приближенные вычисления определенных интегралов Метод прямоугольников.

Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты.

Ряды для чайников Как найти сумму ряда? Признаки Коши Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница Ряды повышенной сложности. Степенные ряды Разложение функций в степенные ряды Сумма степенного ряда Равномерная сходимость Другие функциональные ряды Приближенные вычисления с помощью рядов Вычисление интеграла разложением функции в ряд Как найти частное решение ДУ приближённо с помощью ряда? Вычисление пределов Ряды Фурье. Двойные интегралы Как вычислить двойной интеграл?

Примеры решений Двойные интегралы в полярных координатах Как найти центр тяжести плоской фигуры? Тройные интегралы Как вычислить произвольный тройной интеграл? Криволинейные интегралы Интеграл по замкнутому контуру Формула Грина. Работа силы Поверхностные интегралы.

Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса. Примеры решений типовых задач комплексного анализа Как найти функцию комплексной переменной? Решение ДУ методом операционного исчисления Как решить систему ДУ операционным методом? Основы теории вероятностей Задачи по комбинаторике Задачи на классическое определение вероятности Геометрическая вероятность Задачи на теоремы сложения и умножения вероятностей Зависимые события Формула полной вероятности и формулы Байеса Независимые испытания и формула Бернулли Локальная и интегральная теоремы Лапласа Статистическая вероятность Случайные величины.

Математическое ожидание Дисперсия дискретной случайной величины Функция распределения Геометрическое распределение Биномиальное распределение Распределение Пуассона Гипергеометрическое распределение вероятностей Непрерывная случайная величина, функции F x и f x Как вычислить математическое ожидание и дисперсию НСВ? Равномерное распределение Показательное распределение Нормальное распределение. Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом. Заказать контрольную Часто задаваемые вопросы Гостевая книга.

Авторские работы на заказ. По высшей математике и физике. Продолжаем разбираться с векторами. На первом уроке Векторы для чайников мы рассмотрели понятие вектора, действия с векторами, координаты вектора и простейшие задачи с векторами. Если вы зашли на эту страничку впервые с поисковика, настоятельно рекомендую прочитать вышеуказанную вводную статью, поскольку для усвоения материала необходимо ориентироваться в используемых мной терминах, обозначениях, обладать базовыми знаниями о векторах и уметь решать элементарные задачи.

Данный урок является логическим продолжением темы, и на нём я подробно разберу типовые задания, в которых используется скалярное произведение векторов.

Это ОЧЕНЬ ВАЖНОЕ занятие. Сложение векторов, умножение вектора на число…. Было бы наивным думать, что математики не придумали что-нибудь ещё. Помимо уже рассмотренных действий, существует ряд других операций с векторами, а именно: Скалярное произведение векторов знакомо нам со школы, два других произведения традиционно относятся к курсу высшей математики. Темы несложные, алгоритм решения многих задач трафаретен и понятен. Информации прилично, поэтому нежелательно пытаться освоить-прорешать ВСЁ И СРАЗУ.

Особенно это касается чайников, поверьте, автор совершенно не хочет чувствовать себя Чикатило от математики. Приоткроем же, наконец, дверь и увлечённо посмотрим, что происходит, когда два вектора встречают друг друга…. Сначала про угол между векторами. Думаю, всем интуитивно понятно, что такое угол между векторами, но на всякий случай чуть подробнее. Если отложить данные векторы от произвольной точки , то получится картинка, которую многие уже представили мысленно: Признаюсь, здесь я обрисовал ситуацию только на уровне понимания.

Если необходимо строгое определение угла между векторами, пожалуйста, обратитесь к учебнику, для практических же задач оно нам, в принципе, ни к чему. Также ЗДЕСЬ И ДАЛЕЕ я буду местами игнорировать нулевые векторы ввиду их малой практической значимости. Оговорку сделал специально для продвинутых посетителей сайта, которые могут меня упрекнуть в теоретической неполноте некоторых последующих утверждений. Аналитически данный факт записывается в виде двойного неравенства: Результат операции является ЧИСЛОМ: Умножается вектор на вектор, а получается число.

Значения косинуса можно найти в тригонометрической таблице. Рекомендую её распечатать — потребуется практически во всех разделах вышки и потребуется много раз.

Чисто с математической точки зрения скалярное произведение безразмерно, то есть результат, в данном случае , просто число и всё. С точки же зрения задач физики скалярное произведение всегда имеет определенный физический смысл, то есть после результата нужно указать ту или иную физическую единицу.

Работа силы измеряется в Джоулях, поэтому, и ответ запишется вполне конкретно, например,. Найти , если , а угол между векторами равен. В Примере 1 скалярное произведение получилось положительным, а в Примере 2 — отрицательным. Выясним, от чего зависит знак скалярного произведения.

Смотрим на нашу формулу: Длины ненулевых векторов всегда положительны: Для более качественного понимания нижеприведенной информации лучше изучить график косинуса в методичке Графики и свойства функции. Посмотрите, как ведёт себя косинус на отрезке.

Скалярное произведение векторов, его свойства, примеры вычисления.

Как уже отмечалось, угол между векторами может изменяться в пределах , и при этом возможны следующие случаи:. Поскольку , то формула упрощается: Скалярное произведение тоже отрицательно, так как. Как вариант, векторы сонаправлены. Как вариант, векторы направлены противоположно. Компактно утверждение формулируется так: Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда данные векторы ортогональны.

В чём, кстати, отличие от одностороннего значка следования? Третий случай имеет большую практическую значимость , поскольку позволяет проверить, ортогональны векторы или нет. Данную задачу мы решим во втором разделе урока. Вернёмся к ситуации, когда два вектора сонаправлены. В этом случае угол между ними равен нулю, , и формула скалярного произведения принимает вид: Понятно, что вектор сонаправлен сам с собой, поэтому пользуемся вышеуказанной упрощенной формулой: Из данного равенства можно получить формулу для вычисления длины вектора: Пока она кажется малопонятной, но задачи урока всё расставят на свои места.

Для решения задач нам также потребуются свойства скалярного произведения. Попросту, можно раскрывать скобки.

Константу можно вынести из скалярного произведения. Зачастую, всевозможные свойства которые ещё и доказывать надо! Казалось бы, чего тут важного, все и так с первого класса знают, что от перестановки множителей произведение не меняется: Должен предостеречь, в высшей математике с подобным подходом легко наломать дров. Так, например, переместительное свойство не является справедливым для алгебраических матриц. Неверно оно и для векторного произведения векторов.

Поэтому, в любые свойства, которые вам встретятся в курсе высшей математики, как минимум, лучше вникать, чтобы понять, что можно делать, а чего нельзя. Сначала проясним ситуацию с вектором. Что это вообще такое? Геометрическую интерпретацию действий с векторами можно найти в статье Векторы для чайников. Итак, по условию требуется найти скалярное произведение. Зато в условии даны аналогичные параметры для векторов , поэтому мы пойдём другим путём:.

Во втором слагаемом используем перестановочность скалярного произведения: В последнем слагаемом, соответственно, работает та же штука: Второе слагаемое раскладываем по стандартной формуле. Теперь ещё одно распространённое задание, как раз на новую формулу длины вектора. Обозначения тут будут немного совпадать, поэтому для ясности я перепишу её с другой буквой: Найти длину вектора , если.

Обратите внимание, как она здесь любопытно работает: Желающие могут переставить векторы местами: Продолжаем выжимать полезные вещи из скалярного произведения. Снова посмотрим на нашу формулу. По правилу пропорции сбросим длины векторов в знаменатель левой части: А части поменяем местами: В чём смысл данной формулы? Если известны длины двух векторов и их скалярное произведение, то можно вычислить косинус угла между данными векторами, а, следовательно, и сам угол.

А если известен косинус угла: На заключительном этапе вычислений использован технический приём — устранение иррациональности в знаменателе. В целях устранения иррациональности я домножил числитель и знаменатель на.

Итак, если , то: Значения обратных тригонометрических функций можно находить по тригонометрической таблице. Хотя случается это редко. В задачах аналитической геометрии значительно чаще появляется какой-нибудь неповоротливый медведь вроде , и значение угла приходится находить приближенно, используя калькулятор. Собственно, такую картину мы ещё неоднократно увидим. Опять, не забываем указывать размерность — радианы и градусы.

Найти угол между векторами ,. Второй раздел урока посвящен тому же скалярному произведению. На уроке Векторы для чайников мы рассматривали два случая: Для скалярного произведения векторов всё точно так же! Прежде чем продолжать дальше, скажу, что все рассмотренные выше утверждения, теоремы и задачи первого раздела данной статьи справедливы как для плоскости, так и для пространства.

Второе важное замечание касается базиса. В данном разделе рассматриваются только ортонормированные базисы плоскости и пространства. Повествование опять пойдёт параллельно — и для векторов плоскости и для пространственных векторов.

Скалярное произведение векторов , заданных в ортонормированном базисе , выражается формулой. Найти скалярное произведение векторов: Надеюсь, эта простейшая задача у вас уже отработана. Вернёмся к важному случаю, когда векторы являются ортогональными. В координатах данный факт запишется следующим образом: Вычислим их скалярное произведение: Речь идёт об обычных отрезках, а задача всё равно решается через векторы.

Геометрически это очевидно, поэтому можно сразу записывать вывод об отрезках: Даны четыре точки пространства. Выяснить будут ли перпендикулярными следующие прямые: Это задача для самостоятельного решения. В условии требуется проверить перпендикулярность прямых.

А решается задача снова через векторы по полной аналогии с предыдущим примером. Геометрически тоже всё очевидно — если удастся доказать перпендикулярность векторов, то из этого автоматически будет следовать перпендикулярность соответствующих прямых.

Четыре вектора, которые вы найдёте, называют направляющими векторами прямых. Мощь аналитической геометрии — в векторах. Так, в рассмотренных примерах, с помощью скалярного произведения можно установить не только ортогональность векторов самих по себе, но и перпендикулярность отрезков, прямых. И это приоткрылась только малая часть красоты предмета.

Завершая разговор об ортогональности, разберу ещё одну небольшую задачу, которая время от времени встречается на практике:. По условию требуется найти такое значение параметра , чтобы данные векторы были ортогональны.

Дело за малым, составим уравнение: Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые: Решаем простейшее линейное уравнение: И находим скалярное произведение: Найти скалярное произведение векторов , если. Есть более лаконичное решение:. Проделаны элементарные действия с векторами, которые рассмотрены в конце урока Векторы для чайников.

Это пример для самостоятельного решения. Здесь можно использовать ассоциативность операции, то есть не считать , а сразу вынести тройку за пределы скалярного произведения и домножить на неё в последнюю очередь. Решение и ответ в конце урока. Найти длины векторов , если. И его длину по тривиальной формуле: Как не при делах оно и при вычислении длины вектора: А не воспользоваться ли очевидным свойством длины вектора?

Что можно сказать о длине вектора? Направление противоположно, но это не играет роли, ведь разговор о длине. Косинус угла между векторами пространства , заданными в ортонормированном базисе , выражается формулой: Даны три вершины треугольника. По условию чертёж выполнять не требуется, но всё-таки: Сразу вспоминаем школьное обозначение угла: Для краткости можно было также записать просто.

Именно такой порядок выполнения задания рекомендую чайникам. Полученное значение не является окончательным, поэтому нет особого смысла избавляться от иррациональности в знаменателе. Если посмотреть на чертёж, то результат вполне правдоподобен. Для проверки угол также можно измерить и транспортиром. В ответе не забываем, что спрашивалось про угол треугольника а не про угол между векторами , не забываем указать точный ответ: Те, кто получил удовольствие от процесса, могут вычислить углы , и убедиться в справедливости канонического равенства.

В пространстве задан треугольник координатами своих вершин. То есть, ПРОЕКЦИЯ — ЭТО ЧИСЛО. Данное ЧИСЛО обозначается следующим образом: Отложим данные векторы от одной точки: Косинусом острого угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, у нас уже получена формула косинуса угла между векторами: Решение в одну строчку: Проекция — это ДЛИНА, поэтому обязательно указываем размерность.

В задачах приходится находить не только проекцию вектора на вектор, но и проекцию отрезка на отрезок, отрезка на прямую и т. Но, так или иначе, в решении используются векторы! Треугольник задан своими вершинами. Рассмотрим вектор плоскости , заданный своими координатами в ортонормированном базисе.

Для удобства я отложу его от начала координат:. Аналогично со второй координатой: Причём, для любого ненулевого вектора справедливо равенство. Проверим его справедливость для рассматриваемого вектора: Итак, координаты вектора в ортонормированном базисе — это его проекции на направления соответствующих координатных векторов координатные оси.

Направляющие косинусы ненулевого вектора , заданного в ортонормированном базисе , выражаются формулами , а сами координаты вектора можно выразить через его длину и данные косинусы: Рассмотрим произвольный ненулевой вектор.

Обозначим углы данного вектора с ортами через: Тогда направляющие косинусы вектора выражаются формулами: В практических задачах чаще всего требуется найти направляющие косинусы вектора, заключительный пример урока:.

Найти направляющие косинусы векторов: Простая задача для самостоятельного решения. Фактически, она состоит в том, чтобы найти длину векторов и составить эти самые направляющие косинусы. Ну а здесь решение и ответ совсем близко. После изучения данного урока, у вас уже весьма приличная подготовка по аналитической геометрии.

Чтобы паззл сложился окончательно, читайте статьи Линейная не зависимость векторов. Базис векторов и Векторное и смешанное произведение векторов. Составим и решим уравнение: Найдем векторы Вычислим косинус угла: Как можно отблагодарить автора? Качественные работы без плагиата — Zaochnik.

Копирование материалов сайта запрещено. Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида Элементы высшей алгебры: Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы Пределы: Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных Функции и графики: Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи ФНП: Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов Интегралы: Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты Числовые ряды: Признак Лейбница Ряды повышенной сложности Функциональные ряды: Примеры решений Кратные интегралы: Работа силы Поверхностные интегралы Элементы векторного анализа: Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса Комплексный анализ: Подготовка к ЕГЭ По высшей математике и физике Помогут разобраться в теме, подготовиться к экзамену.


Другие статьи на тему:



 
Copyright © 2006-2017
aunclicdiario.com